Abbildungsmatrix Berechnen Beispiel Essay

Matrix bezüglich einer Basis bestimmen / Basiswechsel

Wenn ihr eine Matrix bezüglich einer Basis bestimmen sollt, ist dies nichts anderes als die eine Basis mit der Abbildungsvorschrift abzubilden und dann das Ergebnis mit der anderen Basis zu schreiben (also z.B. 3 mal der erste Vektor, dann 2 mal der andere usw.). Dies lässt sich am besten mit Beispielen Erklären:

Gegeben seien diese Abbildungsvorschrift:

Und diese Basen:

Nun gibt es verschiedene mögliche Aufgabenstellungen und Möglichkeiten.

1. Beispiel:

Man soll folgendes berechenen:

Den Vektor bezüglich der Basis A (von oben) schreiben:

Das bedeutet die Vektoren der Basis A sollen als Linearkombination diesen Vektor ergeben. Die Vorfaktoren ergeben dann das Ergebnis:

Ihr seht der erste Vektor der Basis A 0 mal, der 2. Vektor -1 mal und der 3. Vektor der Basis 1 mal. Dann schreibt ihr einfach die Anzahl der Basis Vektoren untereinander und habt das Ergebnis. Mehr Steckt nicht dahinter.

2. Beispiel:

Ihr sollt folgendes berechnen:

Das Bedeutet ihr sollt die Basis A bezüglich der Basis B schreiben. Es ist immer so, dass die Basis die rechts steht in Elementen aus der Basis geschrieben werden soll die links steht. Dazu setzt man die Basis rechts erst in die Abbildung ein und schreibt dann das Ergebnis in Linearkombinationen der Elemente aus Basis B.

Um das Beispiel zu berechnen setzt ihr also erst alle Elemente der Basis A nacheinander in die Abbildungsvorschrift ein. Die Ergebnisse die dann raus kommen schreibt ihr dann wie in Beispiel 1 als Linearkombinationen der Elemente von Basis B. Die Vorfaktoren (wie oft die erste und die zweite Basis) schreibt ihr wieder wie oben untereinander hin und fertig :)

Ihr seht beim ersten Vektor kommt mit der Abbildungsvorschrift (3,5) raus. Das schreibt ihr dann in den Basiselementen von B. Also -1 mal der erste Vektor plus 2 mal der 2. Vektor.

Dann müsst ihr nur noch die Vektoren die ihr dadurch erhalten habt hintereinander schreiben, so erhaltet ihr die Matrix nach der gefragt wurde in der Angabe:

Taschenrechner Test und Vergleich

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Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix (also eine rechteckige Anordnung von Zahlen), die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben.

Die aus diesen abgeleiteten affinen Abbildungen, Affinitäten und Projektivitäten können ebenfalls durch Abbildungsmatrizen dargestellt werden.

Begriff[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis (mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung.

Wenn in der Definitionsmenge und der Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten.

Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

Aufbau bei Verwendung von Spaltenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben.

Allgemeiner: Eine lineare Abbildungsmatrix aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum hat m Zeilen und n Spalten. Das Bild eines Koordinatenvektors kann man dann so berechnen:

Dabei ist der Bildvektor, der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten.

Siehe hierzu auch: Aufbau der Abbildungsmatrix.

Verwendung von Zeilenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendet man anstelle von Spalten- Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungsmatrix transponiert werden. Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildungen auf Koordinatentupel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine lineare Abbildung und

eine geordnete Basis von .

Als Basis für die Zielmenge wird die Standardbasis gewählt:

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von als Spalten einer Matrix auffasst:

Beispiel: Man betrachte die lineare Abbildung

Sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum wird die Standardbasis gewählt:

Es gilt:

Damit ist die Abbildungsmatrix von bezüglich der gewählten Basen und :

Abbildungen in allgemeine Vektorräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die Elemente des Zielraums keine Koordinatentupel sind, oder aus anderen Gründen eine andere Basis anstelle der Standardbasis gewählt wird, so müssen die Bilder als Linearkombinationen der Basisvektoren dargestellt werden, um die Einträge der Abbildungsmatrix zu ermitteln:

Die Abbildungsmatrix ergibt sich dann, indem man die Koeffizienten der Linearkombinationen spaltenweise in die Matrix einträgt:

Beispiel: Es werde wieder die lineare Abbildung des obigen Beispiels betrachtet. Diesmal wird im Zielraum jedoch die geordnete Basis

verwendet. Nun gilt:

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und :

Koordinatendarstellung von linearen Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Abbildungsmatrix kann man den Bildvektor eines Vektors unter der linearen Abbildung berechnen.

Hat der Vektor bezüglich der Basis den Koordinatenvektor

,

das heißt

,

und hat der Bildvektor bezüglich der Basis von die Koordinaten

,

das heißt

,

so gilt

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